MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 numere complexe nenule și distincte. Demonstrați că triunghiul cu vârfurile în punctele de afixe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 este echilateral dacă și numai dacă z12+z22+z32=z1z2+z2z3+z3z1z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Triunghiul este echilateral dacă și numai dacă laturile au lungimi egale: ∣z1−z2∣=∣z2−z3∣=∣z3−z1∣|z_1 - z_2| = |z_2 - z_3| = |z_3 - z_1|.
22 puncte
Folosim faptul că ∣a∣2=aa‾|a|^2 = a \overline{a}. Scriem ∣z1−z2∣2=(z1−z2)(z1‾−z2‾)|z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2}), și similar pentru celelalte.
32 puncte
Egalăm ∣z1−z2∣2=∣z2−z3∣2|z_1 - z_2|^2 = |z_2 - z_3|^2 și ∣z2−z3∣2=∣z3−z1∣2|z_2 - z_3|^2 = |z_3 - z_1|^2. Obținem două ecuații.
42 puncte
Adunăm aceste ecuații și simplificăm, folosind proprietățile conjugării și algebră.
52 puncte
Ajungem la condiția z12+z22+z32=z1z2+z2z3+z3z1z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1. Reciproca se demonstrează prin pași inversi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.