MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Demonstrează că ∫0π/2sin⁡n(x) dx=∫0π/2cos⁡n(x) dx\int_{0}^{\pi/2} \sin^n(x) \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos^n(x) \, dx pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}, apoi calculează ∫0π/2sin⁡4(x) dx\int_{0}^{\pi/2} \sin^4(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Folosirea substituției u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x. Atunci du=−dxdu = -dx, iar limitele se schimbă: când x=0x=0, u=π/2u=\pi/2; când x=π/2x=\pi/2, u=0u=0. Integrala ∫0π/2sin⁡n(x) dx\int_{0}^{\pi/2} \sin^n(x) \, dx devine ∫π/20sin⁡n(π/2−u)(−du)=∫0π/2cos⁡n(u) du\int_{\pi/2}^{0} \sin^n(\pi/2 - u) (-du) = \int_{0}^{\pi/2} \cos^n(u) \, du, demonstrând egalitatea.
22 puncte
Scrierea integralei de calculat: ∫0π/2sin⁡4(x) dx\int_{0}^{\pi/2} \sin^4(x) \, dx.
33 puncte
Aplicarea identităților trigonometrice: sin⁡4(x)=(1−cos⁡(2x)2)2=14(1−2cos⁡(2x)+cos⁡2(2x))\sin^4(x) = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)). Folosind cos⁡2(2x)=1+cos⁡(4x)2\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}, integrala devine 14∫0π/2(32−2cos⁡(2x)+12cos⁡(4x)) dx\frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/2} \left(\frac{3}{2} - 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x)\right) \, dx.
41 punct
Evaluarea: 14[32x−sin⁡(2x)+18sin⁡(4x)]0π/2=14⋅3π4=3π16\frac{1}{4} \left[ \frac{3}{2}x - \sin(2x) + \frac{1}{8}\sin(4x) \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{16}. Valoarea integralei este 3π16\frac{3\pi}{16}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.