MediuProgresii GeometriceClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră progresia geometrică (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} cu a1=1+ia_1 = 1 + i și rația q=1−i2q = \frac{1-i}{2}. Calculați suma primilor 10 termeni și determinați limita sumei când nn tinde la infinit, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea formulei termenului general: an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}.
23 puncte
Calculul modulului rației: ∣q∣=∣1−i2∣=22<1|q| = \left| \frac{1-i}{2} \right| = \frac{\sqrt{2}}{2} < 1, verificând convergența sumei infinite.
33 puncte
Aplicarea formulei sumei finite: S10=a11−q101−qS_{10} = a_1 \frac{1-q^{10}}{1-q}, cu calculul lui q10=(1−i2)10q^{10} = \left( \frac{1-i}{2} \right)^{10} și al sumei.
42 puncte
Determinarea limitei: lim⁡n→∞Sn=a11−q=1+i1−1−i2=2\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1-q} = \frac{1+i}{1-\frac{1-i}{2}} = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.