MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere ComplexeTrigonometrie
Consideră progresia geometrică (zn)(z_n) de numere complexe cu z1=2(cos⁡π3+isin⁡π3)z_1 = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right) și rația q=12(cos⁡π6+isin⁡π6)q = \frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right). Exprimă znz_n în formă trigonometrică și determină nn pentru care ∣zn∣=14|z_n| = \frac{1}{4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrie termenul general: zn=z1⋅qn−1z_n = z_1 \cdot q^{n-1}.
23 puncte
Aplică proprietățile înmulțirii numerelor complexe în formă trigonometrică: zn=2⋅(12)n−1[cos⁡(π3+(n−1)π6)+isin⁡(π3+(n−1)π6)]z_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \left[\cos\left(\frac{\pi}{3} + (n-1)\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3} + (n-1)\frac{\pi}{6}\right)\right].
32 puncte
Calculează modulul: ∣zn∣=2⋅(12)n−1=22−n|z_n| = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2^{2-n}.
43 puncte
Rezolvă ecuația ∣zn∣=14|z_n| = \frac{1}{4}: 22−n=2−2⇒2−n=−2⇒n=42^{2-n} = 2^{-2} \Rightarrow 2-n = -2 \Rightarrow n=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.