MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebrice
Să se rezolve ecuația trigonometrică sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=0\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm formula de transformare a sumei în produs pentru sin⁡x+sin⁡3x\sin x + \sin 3x, obținând 2sin⁡2xcos⁡x2\sin 2x \cos x. Astfel, ecuația devine 2sin⁡2xcos⁡x+sin⁡2x=02\sin 2x \cos x + \sin 2x = 0.
24 puncte
Factorizăm sin⁡2x\sin 2x, rezultând sin⁡2x(2cos⁡x+1)=0\sin 2x (2\cos x + 1) = 0. Rezolvăm cele două ecuații: sin⁡2x=0\sin 2x = 0 și 2cos⁡x+1=02\cos x + 1 = 0.
33 puncte
Pentru sin⁡2x=0\sin 2x = 0, avem 2x=kπ2x = k\pi, deci x=kπ2x = \frac{k\pi}{2}, cu k∈Zk \in \mathbb{Z}. Pentru 2cos⁡x+1=02\cos x + 1 = 0, avem cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2}, deci x=2π3+2nπx = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi sau x=4π3+2nπx = \frac{4\pi}{3} + 2n\pi, cu n∈Zn \in \mathbb{Z}. Selectăm soluțiile din intervalul [0,2π][0, 2\pi]: x=0,π2,π,3π2,2π,2π3,4π3x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.