MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie ecuația x3−3x2+4x−2=0x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0. Știind că una dintre rădăcini este un număr complex a+bia+bi cu b≠0b \neq 0, determinați celelalte două rădăcini și calculați suma pătratelor modulului rădăcinilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții ecuației sunt reali, rădăcinile complexe non-reale apar în perechi conjugate. Astfel, dacă a+bia+bi este rădăcină, atunci și conjugata sa a−bia-bi este rădăcină.
24 puncte
Notăm rădăcinile cu x1=a+bix_1 = a+bi, x2=a−bix_2 = a-bi, și x3x_3 rădăcina reală. Folosind relațiile lui Viète: suma rădăcinilor x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3, produsul x1x2x3=2x_1 x_2 x_3 = 2. Din x1+x2=2ax_1 + x_2 = 2a și x1x2=a2+b2x_1 x_2 = a^2 + b^2, avem 2a+x3=32a + x_3 = 3 și (a2+b2)x3=2(a^2 + b^2) x_3 = 2. Testând rădăcini raționale, găsim x3=1x_3 = 1 satisface ecuația (încercând valori). Atunci 2a+1=32a + 1 = 3, deci a=1a=1, și (12+b2)⋅1=2(1^2 + b^2) \cdot 1 = 2, deci b2=1b^2 = 1, b=±1b = \pm 1. Rădăcinile sunt 1+i1+i, 1−i1-i, și 11.
33 puncte
Calculați modulul fiecărei rădăcini: ∣1∣=1|1| = 1, pătratul 12=11^2=1; ∣1+i∣=12+12=2|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}, pătratul 22; ∣1−i∣=2|1-i| = \sqrt{2}, pătratul 22. Suma pătratelor modulului este 1+2+2=51+2+2=5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.