MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteLogaritmiPrimitive
Să se calculeze integrala definită ∫1eln⁡xx(1+ln⁡2x) dx\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x(1 + \ln^2 x)} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că derivata lui ln⁡x\ln x este 1x\frac{1}{x}, deci se poate face substituția t=ln⁡xt = \ln x. Atunci dt=1xdxdt = \frac{1}{x} dx, iar limitele devin: pentru x=1x=1, t=0t=0; pentru x=ex=e, t=1t=1.
24 puncte
Integrala devine ∫01t1+t2 dt\int_{0}^{1} \frac{t}{1+t^2} \, dt. Se poate integra folosind substituția u=1+t2u = 1+t^2, du=2tdtdu = 2t dt, deci 12∫duu=12ln⁡∣u∣+C\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C.
33 puncte
Așadar, ∫01t1+t2 dt=[12ln⁡(1+t2)]01=12ln⁡2−12ln⁡1=12ln⁡2\int_{0}^{1} \frac{t}{1+t^2} \, dt = \left[ \frac{1}{2} \ln(1+t^2) \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 1 = \frac{1}{2} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.