MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați în mulțimea numerelor complexe sistemul: {z+w=3+2iz⋅w=5+5i\begin{cases} z + w = 3 + 2i \\ z \cdot w = 5 + 5i \end{cases}, unde zz și ww sunt numere complexe.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm z=a+biz = a+bi și w=c+diw = c+di, cu a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}. Substituim în sistem: a+c=3a+c = 3, b+d=2b+d = 2, și din z⋅w=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+i(ad+bc)=5+5iz \cdot w = (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + i(ad + bc) = 5 + 5i, obținem ac−bd=5ac - bd = 5 și ad+bc=5ad + bc = 5.
24 puncte
Considerăm zz și ww ca rădăcini ale ecuației t2−(z+w)t+zw=0t^2 - (z+w)t + zw = 0. Așadar, ecuația este t2−(3+2i)t+(5+5i)=0t^2 - (3+2i)t + (5+5i) = 0. Calculăm discriminantul: Δ=(3+2i)2−4(5+5i)=(9+12i+4i2)−20−20i=(9+12i−4)−20−20i=5+12i−20−20i=−15−8i\Delta = (3+2i)^2 - 4(5+5i) = (9 + 12i + 4i^2) - 20 - 20i = (9 + 12i - 4) - 20 - 20i = 5 + 12i - 20 - 20i = -15 - 8i.
33 puncte
Găsim rădăcinile pătrate ale lui Δ\Delta. Notăm Δ=x+yi\sqrt{\Delta} = x+yi, cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}, astfel încât (x+yi)2=−15−8i(x+yi)^2 = -15 - 8i. Rezolvăm sistemul x2−y2=−15x^2 - y^2 = -15 și 2xy=−82xy = -8. Obținem soluții, de exemplu, x=1,y=−4x=1, y=-4 sau x=−1,y=4x=-1, y=4. Atunci Δ=1−4i\sqrt{\Delta} = 1-4i sau −1+4i-1+4i. Rădăcinile ecuației sunt t=3+2i±(1−4i)2t = \frac{3+2i \pm (1-4i)}{2}, deci z=2−iz = 2-i și w=1+3iw = 1+3i, sau invers.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.