MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Un dreptunghi are laturile paralele cu axele de coordonate și două vârfuri opuse pe parabola de ecuație y=4−x2y = 4 - x^2, cu x∈[−2,2]x \in [-2, 2]. Determinați dimensiunile dreptunghiului care maximizează aria sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimarea ariei în funcție de o variabilă. Fie xx abscisa unui vârf pe parabola din cadranul superior, cu x∈[0,2]x \in [0, 2] din simetrie. Atunci coordonatele vârfului sunt (x,4−x2)(x, 4-x^2). Lățimea dreptunghiului este 2x2x (datorită simetriei față de axa OyOy), iar înălțimea este 4−x24-x^2. Aria A(x)=(2x)(4−x2)=8x−2x3A(x) = (2x)(4-x^2) = 8x - 2x^3, cu x∈[0,2]x \in [0, 2].
24 puncte
Calculul derivatei și găsirea punctelor critice. A′(x)=8−6x2A'(x) = 8 - 6x^2. Se rezolvă A′(x)=0⇒8−6x2=0⇒x2=43⇒x=23A'(x)=0 \Rightarrow 8 - 6x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{\sqrt{3}} (valoarea pozitivă în [0,2][0,2]). Se verifică capetele: A(0)=0A(0)=0, A(2)=8⋅2−2⋅8=16−16=0A(2)=8\cdot2 - 2\cdot8 = 16 - 16 = 0.
33 puncte
Determinarea maximului. Calculăm A(23)=8⋅23−2⋅(23)3=163−2⋅833=163−1633=48−1633=3233>0A\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 8\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} - 2\cdot\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{16}{\sqrt{3}} - 2\cdot\frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} - \frac{16}{3\sqrt{3}} = \frac{48 - 16}{3\sqrt{3}} = \frac{32}{3\sqrt{3}} > 0. Derivata a doua: A′′(x)=−12x<0A''(x) = -12x < 0 pentru x>0x>0, deci punctul este de maxim. Dimensiunile: lățimea 2x=432x = \frac{4}{\sqrt{3}}, înălțimea 4−x2=4−43=834 - x^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.