MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 termenii unei progresii geometrice de numere complexe, cu ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=2|z_1| = |z_2| = |z_3| = 2. Dacă z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, arătați că rația progresiei este q=−12±i32q = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} și calculați ∣z1⋅z2⋅z3∣|z_1 \cdot z_2 \cdot z_3|.

Rezolvare completă

12 puncte · 5 pași
13 puncte
Notăm z1=az_1 = a, z2=aqz_2 = aq, z3=aq2z_3 = aq^2 cu a,q∈Ca, q \in \mathbb{C}, a≠0a \neq 0.
23 puncte
Din ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=2|z_1| = |z_2| = |z_3| = 2, obținem ∣a∣=2|a| = 2 și ∣q∣=1|q| = 1.
32 puncte
Din z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, avem a(1+q+q2)=0a(1+q+q^2)=0, deci 1+q+q2=01+q+q^2=0.
42 puncte
Rezolvăm ecuația 1+q+q2=01+q+q^2=0 și obținem q=−12±i32q = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.
52 puncte
Calculăm ∣z1⋅z2⋅z3∣=∣a∣3∣q∣3=23⋅1=8|z_1 \cdot z_2 \cdot z_3| = |a|^3 |q|^3 = 2^3 \cdot 1 = 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.