MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(a101a101a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}, cu a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Calculați det⁡(A)\det(A). b) Determinați valorile lui aa pentru care matricea AA este inversabilă. c) Pentru a=2a=2, rezolvați sistemul liniar A⋅X=BA \cdot X = B, unde X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} și B=(10−1)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului: det⁡(A)=a⋅∣a11a∣−1⋅∣110a∣+0⋅∣1a01∣=a(a2−1)−1⋅a=a3−a−a=a3−2a\det(A) = a \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = a(a^2 - 1) - 1 \cdot a = a^3 - a - a = a^3 - 2a. \
23 puncte
Matricea AA este inversabilă dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0. Deci a3−2a≠0⇒a(a2−2)≠0⇒a≠0,a≠2,a≠−2a^3 - 2a \neq 0 \Rightarrow a(a^2 - 2) \neq 0 \Rightarrow a \neq 0, a \neq \sqrt{2}, a \neq -\sqrt{2}. \
34 puncte
Pentru a=2a=2, det⁡(A)=8−4=4≠0\det(A) = 8 - 4 = 4 \neq 0. Sistemul A⋅X=BA \cdot X = B se rezolvă folosind regula lui Cramer. Calculăm: det⁡(A)=4\det(A) = 4, det⁡(Ax)=∣110021−112∣=1⋅∣2112∣−1⋅∣01−12∣+0⋅∣02−11∣=1(4−1)−1(0+1)=3−1=2\det(A_x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(4-1) - 1(0 + 1) = 3 - 1 = 2, deci x=24=12x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. det⁡(Ay)=∣2101010−12∣=2⋅∣01−12∣−1⋅∣1102∣+0=2(0⋅2−1⋅(−1))−1(1⋅2−1⋅0)=2(0+1)−1(2)=2−2=0\det(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 = 2(0 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) - 1(1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) = 2(0 + 1) - 1(2) = 2 - 2 = 0, deci y=04=0y = \frac{0}{4} = 0. det⁡(Az)=∣21112001−1∣=2⋅∣201−1∣−1⋅∣100−1∣+1⋅∣1201∣=2(2⋅(−1)−0⋅1)−1(1⋅(−1)−0⋅0)+1(1⋅1−2⋅0)=2(−2)−1(−1)+1(1)=−4+1+1=−2\det(A_z) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2(2 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - 1(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) + 1(1 \cdot 1 - 2 \cdot 0) = 2(-2) - 1(-1) + 1(1) = -4 + 1 + 1 = -2, deci z=−24=−12z = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}. Soluția sistemului este X=(120−12)X = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.