MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere ComplexeTrigonometrie
Fie (zn)n≥1(z_n)_{n \ge 1} o progresie geometrică de numere complexe. Se știe că ∣z1∣=2|z_1| = 2, arg⁡(z1)=π3\arg(z_1) = \frac{\pi}{3}, și z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0. Să se determine rația qq (sub formă algebrică) și termenul z4z_4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Exprimă z1z_1 în formă algebrică: z1=2(cos⁡π3+isin⁡π3)=1+i3z_1 = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 1 + i\sqrt{3}.
23 puncte
Scrie z2=z1qz_2 = z_1 q și z3=z1q2z_3 = z_1 q^2, și folosește condiția z1+z1q+z1q2=0z_1 + z_1 q + z_1 q^2 = 0. Deoarece z1≠0z_1 \neq 0, obține 1+q+q2=01 + q + q^2 = 0.
33 puncte
Rezolvă ecuația q2+q+1=0q^2 + q + 1 = 0. Soluțiile sunt q=−1±i32q = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}.
42 puncte
Calculează z4=z1q3z_4 = z_1 q^3. Din ecuația pentru qq, avem q3=1q^3 = 1 (deoarece q3−1=(q−1)(q2+q+1)=0q^3 - 1 = (q-1)(q^2+q+1) = 0), deci z4=z1=1+i3z_4 = z_1 = 1 + i\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.