MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
În planul cartezian, se consideră triunghiul ABC cu vârfurile A(0,0), B(6,0) și C astfel încât AC = 5 și BC = 7. Să se determine coordonatele punctului C și măsurile unghiurilor triunghiului, exprimate în radiani.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm coordonatele punctului C cu (x,y)(x, y). Folosind formula distanței, scriem sistemul de ecuații: {x2+y2=25(x−6)2+y2=49\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ (x-6)^2 + y^2 = 49 \end{cases}.
24 puncte
Scădem prima ecuație din a doua: (x−6)2−x2=24(x-6)^2 - x^2 = 24. Dezvoltăm: x2−12x+36−x2=24x^2 - 12x + 36 - x^2 = 24, deci −12x+36=24-12x + 36 = 24, rezultând x=1x = 1. Substituim x=1x = 1 în prima ecuație: 1+y2=251 + y^2 = 25, deci y2=24y^2 = 24 și y=±26y = \pm 2\sqrt{6}. Obținem două puncte posibile pentru C: (1,26)(1, 2\sqrt{6}) și (1,−26)(1, -2\sqrt{6}).
33 puncte
Pentru a calcula unghiurile, folosim legea cosinusurilor sau produsul scalar. De exemplu, pentru C(1,26)(1, 2\sqrt{6}), vectorii sunt AB⃗=(6,0)\vec{AB} = (6,0), AC⃗=(1,26)\vec{AC} = (1, 2\sqrt{6}), BC⃗=(−5,26)\vec{BC} = (-5, 2\sqrt{6}). Unghiul A se calculează cu cos⁡A=AB⃗⋅AC⃗∣AB⃗∣∣AC⃗∣=6⋅1+0⋅266⋅5=630=15\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{6 \cdot 1 + 0 \cdot 2\sqrt{6}}{6 \cdot 5} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}, deci A=arccos⁡(15)A = \arccos\left(\frac{1}{5}\right). Similar pentru unghiurile B și C, folosind produsele scalare corespunzătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.