MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică cu termeni pozitivi. Știind că a1+a2+a3=14a_1 + a_2 + a_3 = 14 și a1⋅a2⋅a3=64a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 64, determinați rația progresiei și suma primilor 5 termeni.

Rezolvare completă

11 puncte · 7 pași
12 puncte
Notăm a1=aa_1 = a și rația qq.
22 puncte
Scriem ecuațiile: a+aq+aq2=14a + aq + aq^2 = 14 și a3q3=64a^3 q^3 = 64.
32 puncte
Din a3q3=64a^3 q^3 = 64, obținem aq=4aq = 4.
42 puncte
Substituim în prima ecuație: a+4+aq2=14a + 4 + aq^2 = 14, iar aq2=4qaq^2 = 4q, deci a+4+4q=14⇒a=10−4qa + 4 + 4q = 14 \Rightarrow a = 10 - 4q.
51 punct
Din aq=4aq = 4 și a=10−4qa = 10 - 4q, avem (10−4q)q=4(10-4q)q = 4, care conduce la ecuația 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0.
61 punct
Rezolvăm ecuația: q1=2q_1 = 2 sau q2=12q_2 = \frac{1}{2}; pentru q=2q=2, a=2a=2, pentru q=12q=\frac{1}{2}, a=8a=8.
71 punct
Calculăm suma S5=aq5−1q−1S_5 = a \frac{q^5 - 1}{q - 1}: pentru q=2,a=2q=2, a=2, S5=62S_5 = 62; pentru q=12,a=8q=\frac{1}{2}, a=8, S5=312S_5 = \frac{31}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.