MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea M=(2−10−12−10−12)M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}. a) Calculați det⁡(M)\det(M) și demonstrați că MM este inversabilă. b) Rezolvați sistemul M⋅X=BM \cdot X = B, unde X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} și B=(101)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. c) Aflați toate matricele NN de ordinul 3 care comută cu MM, adică MN=NMMN = NM.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului folosind regula lui Sarrus: det⁡(M)=2⋅(2⋅2−(−1)⋅(−1))−(−1)⋅((−1)⋅2−(−1)⋅0)+0⋅((−1)⋅(−1)−2⋅0)=2⋅(4−1)+1⋅(−2−0)+0=2⋅3−2=6−2=4≠0\det(M) = 2 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) - (-1) \cdot ((-1) \cdot 2 - (-1) \cdot 0) + 0 \cdot ((-1) \cdot (-1) - 2 \cdot 0) = 2 \cdot (4 - 1) + 1 \cdot (-2 - 0) + 0 = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4 \neq 0, deci MM este inversabilă.
24 puncte
Rezolvarea sistemului prin metoda reducerii: Sistemul este {2x−y=1−x+2y−z=0−y+2z=1\begin{cases} 2x - y = 1 \\ -x + 2y - z = 0 \\ -y + 2z = 1 \end{cases}. Din prima ecuație, y=2x−1y = 2x - 1. Înlocuim în a doua: −x+2(2x−1)−z=0⇒−x+4x−2−z=0⇒3x−z=2⇒z=3x−2-x + 2(2x - 1) - z = 0 \Rightarrow -x + 4x - 2 - z = 0 \Rightarrow 3x - z = 2 \Rightarrow z = 3x - 2. Înlocuim în a treia: −(2x−1)+2(3x−2)=1⇒−2x+1+6x−4=1⇒4x−3=1⇒4x=4⇒x=1-(2x - 1) + 2(3x - 2) = 1 \Rightarrow -2x + 1 + 6x - 4 = 1 \Rightarrow 4x - 3 = 1 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1. Atunci y=1y = 1 și z=1z = 1. Soluția este X=(111)X = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}.
33 puncte
Fie N=(abcdefghi)N = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}. Condiția MN=NMMN = NM conduce la ecuații: din egalarea elementelor, obținem b=db = d, c=0c = 0, f=bf = b, g=0g = 0, h=bh = b, și relații între a,e,ia, e, i. Rezolvând, matricele NN sunt de forma N=(ab0ba+bb0ba)N = \begin{pmatrix} a & b & 0 \\ b & a+b & b \\ 0 & b & a \end{pmatrix} cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.