MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciNumere ComplexeSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea M=(1i−i1)M = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. Să se demonstreze că M2=2MM^2 = 2M și să se calculeze MnM^n pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Apoi, folosind aceasta, să se rezolve sistemul de ecuații: {x+iy=a−ix+y=b\begin{cases} x + iy = a \\ -ix + y = b \end{cases}, unde a,b∈Ca,b \in \mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm M2=M⋅M=(1i−i1)⋅(1i−i1)=(1⋅1+i⋅(−i)1\cdoti+i⋅1−i⋅1+1⋅(−i)−i\cdoti+1⋅1)=(1+1i+i−i−i1+1)=(22i−2i2)=2(1i−i1)=2MM^2 = M \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + i\cdot(-i) & 1\cdoti + i\cdot1 \\ -i\cdot1 + 1\cdot(-i) & -i\cdoti + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1 & i + i \\ -i - i & 1 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2i \\ -2i & 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix} = 2M.
23 puncte
Din M2=2MM^2 = 2M, prin inducție matematică, demonstrăm că Mn=2n−1MM^n = 2^{n-1} M pentru n≥1n \geq 1. Pentru n=1n=1, M1=M=20MM^1 = M = 2^{0} M. Presupunem Mk=2k−1MM^k = 2^{k-1} M, atunci Mk+1=Mk⋅M=2k−1M⋅M=2k−1⋅2M=2kMM^{k+1} = M^k \cdot M = 2^{k-1} M \cdot M = 2^{k-1} \cdot 2M = 2^k M. Deci Mn=2n−1MM^n = 2^{n-1} M.
32 puncte
Sistemul de ecuații poate fi scris matricial ca M⋅(xy)=(ab)M \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}. Observăm că M2=2MM^2 = 2M, deci înmulțim ecuația cu MM: M2(xy)=M(ab)M^2 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, adică 2M(xy)=M(ab)2M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}. Înlocuind M(xy)=(ab)M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, obținem 2(ab)=M(ab)2 \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}.
42 puncte
Din 2(ab)=M(ab)=(a+ib−ia+b)2 \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + i b \\ -i a + b \end{pmatrix}, avem sistemul {2a=a+ib2b=−ia+b\begin{cases} 2a = a + i b \\ 2b = -i a + b \end{cases}, care se reduce la {a=ibb=−ia\begin{cases} a = i b \\ b = -i a \end{cases}, echivalent cu a=iba = i b. Atunci, sistemul original M(xy)=(ab)M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} are soluții doar pentru a=iba = i b. În acest caz, din prima ecuație x+iy=ax + i y = a, putem exprima x=a−iyx = a - i y, iar din a doua −ix+y=b-i x + y = b, substituind, găsim că este verificată pentru orice y∈Cy \in \mathbb{C} când a=iba = i b. Deci soluțiile sunt x=a−iyx = a - i y, yy arbitrar, sau echivalent, (xy)=(a0)+t(−i1)\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} pentru t∈Ct \in \mathbb{C}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.