MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmi
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡4(y)=4log⁡2(y)−log⁡4(x)=1\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 4 \\ \log_2(y) - \log_4(x) = 1 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabiliți condițiile de existență pentru logaritmi: x>0x > 0 și y>0y > 0.
23 puncte
Transformați logaritmii la baza 2: log⁡4(y)=log⁡2(y)log⁡2(4)=log⁡2(y)2\log_4(y) = \frac{\log_2(y)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(y)}{2} și log⁡4(x)=log⁡2(x)2\log_4(x) = \frac{\log_2(x)}{2}. Sistemul devine: {log⁡2(x)+log⁡2(y)2=4log⁡2(y)−log⁡2(x)2=1\begin{cases} \log_2(x) + \frac{\log_2(y)}{2} = 4 \\ \log_2(y) - \frac{\log_2(x)}{2} = 1 \end{cases}.
33 puncte
Notați a=log⁡2(x)a = \log_2(x) și b=log⁡2(y)b = \log_2(y). Sistemul devine liniar: {a+b2=4b−a2=1\begin{cases} a + \frac{b}{2} = 4 \\ b - \frac{a}{2} = 1 \end{cases}. Rezolvați: din a doua ecuație, b=1+a2b = 1 + \frac{a}{2}; înlocuiți în prima: a+12(1+a2)=4a + \frac{1}{2}(1 + \frac{a}{2}) = 4, adică a+12+a4=4a + \frac{1}{2} + \frac{a}{4} = 4, deci 5a4=72\frac{5a}{4} = \frac{7}{2}, de unde a=145a = \frac{14}{5}. Apoi b=1+12⋅145=1+75=125b = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{14}{5} = 1 + \frac{7}{5} = \frac{12}{5}.
42 puncte
Reveniți la xx și yy: log⁡2(x)=145\log_2(x) = \frac{14}{5}, deci x=214/5x = 2^{14/5}, și log⁡2(y)=125\log_2(y) = \frac{12}{5}, deci y=212/5y = 2^{12/5}. Verificați în condițiile de existență: x>0x > 0, y>0y > 0, deci soluțiile sunt valide. Soluția finală este x=214/5x = 2^{14/5}, y=212/5y = 2^{12/5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.