MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateGeometrie AnaliticăAplicații ale derivatelor
Fie parabola y=x2y = x^2 și punctul A(0,1)A(0,1). Considerăm funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+(x2−1)2f(x) = x^2 + (x^2-1)^2, care reprezintă pătratul distanței de la AA la punctul P(x,x2)P(x, x^2) de pe parabolă. a) Calculați f′(x)f'(x). b) Aflați punctele critice ale funcției ff. c) Studiați semnul derivatei pentru a determina intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției ff. d) Deduceți coordonatele punctului (sau punctelor) PP de pe parabolă care sunt cele mai apropiate de AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei: f(x)=x4−x2+1f(x) = x^4 - x^2 +1, deci f′(x)=4x3−2x=2x(2x2−1)f'(x) = 4x^3 -2x = 2x(2x^2-1).
23 puncte
Punctele critice: f′(x)=0⇒2x(2x2−1)=0f'(x)=0 \Rightarrow 2x(2x^2-1)=0, deci x=0x=0, x=−12x=-\frac{1}{\sqrt{2}}, x=12x=\frac{1}{\sqrt{2}}.
32 puncte
Studiul semnului: pe intervalele (−∞,−12)(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (−12,0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0), (0,12)(0, \frac{1}{\sqrt{2}}), (12,∞)(\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty), se determină că ff este descrescătoare pe (−∞,−12](-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}], crescătoare pe [−12,0][-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0], descrescătoare pe [0,12][0, \frac{1}{\sqrt{2}}], crescătoare pe [12,∞)[\frac{1}{\sqrt{2}}, \infty). Punctele x=−12x=-\frac{1}{\sqrt{2}} și x=12x=\frac{1}{\sqrt{2}} sunt minime locale, x=0x=0 este maxim local.
42 puncte
Minimul global: f(−12)=f(12)=34f(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3}{4}, deci punctele P1(−12,12)P_1(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}) și P2(12,12)P_2(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}) sunt cele mai apropiate de AA. Distanța minimă este 34=32\sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.