MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Să se determine numerele complexe zz care satisfac ecuația z2+2zˉ=3+4iz^2 + 2\bar{z} = 3 + 4i, unde zˉ\bar{z} este conjugatul lui zz.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}, deci zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi.
23 puncte
Înlocuim în ecuație: (a+bi)2+2(a−bi)=3+4i(a+bi)^2 + 2(a-bi) = 3+4i și dezvoltăm, obținând a2−b2+2a+(2ab−2b)i=3+4ia^2 - b^2 + 2a + (2ab - 2b)i = 3+4i.
34 puncte
Egalăm părțile reale și imaginare: a2−b2+2a=3a^2 - b^2 + 2a = 3 și 2ab−2b=42ab - 2b = 4. Din a doua ecuație, factorizăm: 2b(a−1)=4⇒b(a−1)=22b(a-1) = 4 \Rightarrow b(a-1) = 2. Rezolvăm sistemul. Cazul 1: Dacă b=0b=0, atunci din a doua ecuație avem 0=40=4, imposibil. Deci b≠0b \neq 0, și a−1=2ba-1 = \frac{2}{b}. Înlocuim în prima ecuație: a2−b2+2a=3a^2 - b^2 + 2a = 3. Cu a=1+2ba = 1 + \frac{2}{b}. Rezolvăm și găsim b2=1b^2 = 1, deci b=±1b = \pm 1. Pentru b=1b=1, a=3a=3, deci z=3+iz=3+i. Pentru b=−1b=-1, a=−1a=-1, deci z=−1−iz=-1-i. Verificăm în ecuația inițială ambele soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.