MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră matricea A=(12−10132−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați determinantul lui AA și verificați dacă AA este inversabilă. b) Dacă AA este inversabilă, determinați matricea inversă A−1A^{-1}. c) Rezolvați sistemul de ecuații liniare A⋅(xyz)=(10−1)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calculați det⁡(A)=1⋅(1⋅1−3⋅(−1))−2⋅(0⋅1−3⋅2)+(−1)⋅(0⋅(−1)−1⋅2)=1⋅4−2⋅(−6)+(−1)⋅(−2)=4+12+2=18\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 3 \cdot (-1)) - 2 \cdot (0 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + (-1) \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot (-6) + (-1) \cdot (-2) = 4 + 12 + 2 = 18. Deci det⁡(A)=18≠0\det(A) = 18 \neq 0, matricea este inversabilă.
24 puncte
Găsiți matricea adjunctă: calculează complementele algebrice și transpuneți. A−1=118(4−1763−3−251)A^{-1} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 & -1 & 7 \\ 6 & 3 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix}.
34 puncte
Rezolvați sistemul: (xyz)=A−1(10−1)=118(4−1763−3−251)(10−1)=118(−39−3)=(−1612−16)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 4 & -1 & 7 \\ 6 & 3 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} -3 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{6} \\ \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.