MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceEcuații exponentialeSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡2(y)=32x⋅4y=64\begin{cases} \log_2(x) + \log_2(y) = 3 \\ 2^x \cdot 4^y = 64 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Folosiți proprietatea logaritmilor: log⁡2(x)+log⁡2(y)=log⁡2(xy)\log_2(x) + \log_2(y) = \log_2(xy), deci prima ecuație devine log⁡2(xy)=3\log_2(xy) = 3, adică xy=23=8xy = 2^3 = 8.
22 puncte
Scrieți a doua ecuație: 2x⋅4y=642^x \cdot 4^y = 64. Deoarece 4y=(22)y=22y4^y = (2^2)^y = 2^{2y}, ecuația devine 2x⋅22y=2x+2y=64=262^x \cdot 2^{2y} = 2^{x+2y} = 64 = 2^6, deci x+2y=6x+2y = 6.
34 puncte
Rezolvați sistemul {xy=8x+2y=6\begin{cases} xy = 8 \\ x+2y = 6 \end{cases}. Din a doua ecuație, x=6−2yx = 6 - 2y. Înlocuiți în prima: (6−2y)y=8⇒6y−2y2=8⇒2y2−6y+8=0⇒y2−3y+4=0(6-2y)y = 8 \Rightarrow 6y - 2y^2 = 8 \Rightarrow 2y^2 - 6y + 8 = 0 \Rightarrow y^2 - 3y + 4 = 0. Discriminantul este Δ=9−16=−7<0\Delta = 9 - 16 = -7 < 0, deci nu există soluții reale pentru yy. Verificați dacă există erori: din xy=8xy=8 și x+2y=6x+2y=6, exprimați xx și rezolvați corect. Din x=6−2yx=6-2y, substituim: (6−2y)y=8⇒6y−2y2=8⇒2y2−6y+8=0⇒y2−3y+4=0(6-2y)y=8 \Rightarrow 6y - 2y^2 = 8 \Rightarrow 2y^2 - 6y + 8 = 0 \Rightarrow y^2 - 3y + 4 = 0. Această ecuație are discriminant negativ, deci sistemul nu are soluții reale.
42 puncte
Concluzionați că sistemul nu are soluții reale, deoarece ecuația cuadratică obținută nu are rădăcini reale. Verificați dacă există restricții de domeniu: din ecuațiile logaritmice, x>0x>0 și y>0y>0, dar acestea nu schimbă concluzia.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.