MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie Analitică
Rezolvați ecuația z2−(2−i)z+3−i=0z^2 - (2-i)z + 3 - i = 0 în mulțimea numerelor complexe. Apoi, verificați dacă punctele din planul complex corespunzătoare rădăcinilor și originea sunt vârfurile unui triunghi dreptunghic.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea: z=(2−i)±(2−i)2−4(3−i)2z = \frac{(2-i) \pm \sqrt{(2-i)^2 - 4(3-i)}}{2}.
23 puncte
Calculăm discriminantul: Δ=(2−i)2−4(3−i)=4−4i+i2−12+4i=4−1−12=−9\Delta = (2-i)^2 - 4(3-i) = 4 - 4i + i^2 - 12 + 4i = 4 - 1 - 12 = -9. Deci Δ=−9\Delta = -9, iar Δ=3i\sqrt{\Delta} = 3i sau −3i-3i.
32 puncte
Obținem rădăcinile: z1=(2−i)+3i2=2+2i2=1+iz_1 = \frac{(2-i) + 3i}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i și z2=(2−i)−3i2=2−4i2=1−2iz_2 = \frac{(2-i) - 3i}{2} = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i.
42 puncte
Considerăm punctele A(0,0)A(0,0) (origine), B(1,1)B(1,1) (corespunzător lui z1z_1) și C(1,−2)C(1,-2) (corespunzător lui z2z_2). Calculăm lungimile laturilor: AB=(1−0)2+(1−0)2=2AB = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}, AC=(1−0)2+(−2−0)2=5AC = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{5}, BC=(1−1)2+(−2−1)2=3BC = \sqrt{(1-1)^2 + (-2-1)^2} = 3. Verificăm teorema lui Pitagora: AB2+AC2=2+5=7≠9=BC2AB^2 + AC^2 = 2 + 5 = 7 \neq 9 = BC^2, deci triunghiul ABCABC nu este dreptunghic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.