MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie (zn)n≥1(z_n)_{n \geq 1} o progresie geometrică de numere complexe, cu z1=1+2iz_1 = 1 + 2i și z3=−3+4iz_3 = -3 + 4i. Calculați ∣z5∣|z_5|.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Din z3=z1q2z_3 = z_1 q^2, unde qq este rația, avem q2=z3z1=−3+4i1+2iq^2 = \frac{z_3}{z_1} = \frac{-3+4i}{1+2i}. Calculăm: −3+4i1+2i=(−3+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−3+6i+4i−8i21+4=−3+10i+85=5+10i5=1+2i\frac{-3+4i}{1+2i} = \frac{(-3+4i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{-3+6i+4i-8i^2}{1+4} = \frac{-3+10i+8}{5} = \frac{5+10i}{5} = 1+2i. Deci q2=1+2iq^2 = 1+2i.
23 puncte
Calculăm ∣q∣2=∣q2∣=∣1+2i∣=12+22=5|q|^2 = |q^2| = |1+2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}. Atunci ∣q∣4=(∣q∣2)2=5|q|^4 = (|q|^2)^2 = 5.
33 puncte
∣z5∣=∣z1q4∣=∣z1∣⋅∣q∣4=∣1+2i∣⋅5=5⋅5=55|z_5| = |z_1 q^4| = |z_1| \cdot |q|^4 = |1+2i| \cdot 5 = \sqrt{5} \cdot 5 = 5\sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.