MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră matricea A=(x10y)A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 0 & y \end{pmatrix}, unde xx și yy sunt numere reale. Determinați xx și yy știind că A2−3A+2I2=O2A^2 - 3A + 2I_2 = O_2, unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și O2O_2 este matricea nulă. Apoi, calculați AnA^n pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți A2=(x2x+y0y2)A^2 = \begin{pmatrix} x^2 & x+y \\ 0 & y^2 \end{pmatrix} și înlocuiți în ecuația A2−3A+2I2=O2A^2 - 3A + 2I_2 = O_2, obținând (x2−3x+2x+y−30y2−3y+2)=(0000)\begin{pmatrix} x^2 - 3x + 2 & x+y - 3 \\ 0 & y^2 - 3y + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
23 puncte
Egalând elementele, rezultă sistemul: x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0, x+y−3=0x+y - 3 = 0, y2−3y+2=0y^2 - 3y + 2 = 0. Rezolvați sistemul: din x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0 se obține x=1x=1 sau x=2x=2. Din x+y−3=0x+y-3=0, pentru x=1x=1, y=2y=2; pentru x=2x=2, y=1y=1. Verificați că y2−3y+2=0y^2 - 3y + 2 = 0 este satisfăcut pentru y=1y=1 și y=2y=2.
34 puncte
Pentru x=1,y=2x=1, y=2, A=(1102)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} și An=(12n−102n)A^n = \begin{pmatrix} 1 & 2^n -1 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} (se poate demonstra prin inducție). Pentru x=2,y=1x=2, y=1, A=(2101)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și An=(2n2n−101)A^n = \begin{pmatrix} 2^n & 2^n -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.