MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=xy+2x+2y+2x * y = xy + 2x + 2y + 2. Să se studieze această lege: a) Să se verifice dacă este comutativă și asociativă. b) Să se determine elementul neutru. c) Să se afle elementele simetrizabile în raport cu această lege.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificarea comutativității: x∗y=xy+2x+2y+2x * y = xy + 2x + 2y + 2, y∗x=yx+2y+2x+2y * x = yx + 2y + 2x + 2, deci x∗y=y∗xx * y = y * x, legea este comutativă.
23 puncte
Verificarea asociativității: Calculăm (x∗y)∗z=xyz+2xy+2xz+2yz+4x+4y+4z+6(x * y) * z = xyz + 2xy + 2xz + 2yz + 4x + 4y + 4z + 6 și x∗(y∗z)=xyz+2xy+2xz+2yz+4x+4y+4z+6x * (y * z) = xyz + 2xy + 2xz + 2yz + 4x + 4y + 4z + 6, egal, deci asociativă.
33 puncte
Determinarea elementului neutru: Fie ee astfel încât x∗e=xx * e = x. Obținem xe+2x+2e+2=x⇒e(x+2)=−x−2⇒e=−1xe + 2x + 2e + 2 = x \Rightarrow e(x+2) = -x-2 \Rightarrow e = -1 pentru x≠−2x \neq -2, iar pentru x=−2x=-2 se verifică, deci e=−1e=-1 este element neutru.
42 puncte
Elementele simetrizabile: Pentru x∈Rx \in \mathbb{R}, x′x' simetric dacă x∗x′=−1x * x' = -1. Rezultă x′=−2x−3x+2x' = \frac{-2x-3}{x+2} pentru x≠−2x \neq -2. Pentru x=−2x=-2, ecuația devine (−2)∗x′=−1⇒−2=−1(-2)*x' = -1 \Rightarrow -2 = -1, fals, deci nu există simetric. Elementele simetrizabile sunt R∖{−2}\mathbb{R} \setminus \{-2\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.