MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie ecuația trigonometrică 2sin⁡2x−3sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=02\sin^2 x - 3\sin x \cos x + \cos^2 x = 0. a) Demonstrați că ecuația se poate scrie sub forma (sin⁡x−cos⁡x)(2sin⁡x−cos⁡x)=0(\sin x - \cos x)(2\sin x - \cos x) = 0. b) Rezolvați ecuația în intervalul [0,2π][0, 2\pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Factorizarea expresiei. Se observă că 2sin⁡2x−3sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=(sin⁡x−cos⁡x)(2sin⁡x−cos⁡x)2\sin^2 x - 3\sin x \cos x + \cos^2 x = (\sin x - \cos x)(2\sin x - \cos x) prin grupare sau verificare.\n
24 puncte
Rezolvarea ecuațiilor sin⁡x−cos⁡x=0\sin x - \cos x = 0 și 2sin⁡x−cos⁡x=02\sin x - \cos x = 0. Pentru prima: sin⁡x=cos⁡x⇒tan⁡x=1\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1, deci x=π4+kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}. Pentru a doua: 2sin⁡x=cos⁡x⇒tan⁡x=122\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = \frac{1}{2}, deci x=arctan⁡(12)+kπ,k∈Zx = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + k\pi, k \in \mathbb{Z}.\n
33 puncte
Determinarea soluțiilor în [0,2π][0, 2\pi]. Din prima ecuație: x=π4x = \frac{\pi}{4} și x=5π4x = \frac{5\pi}{4}. Din a doua: x=arctan⁡(12)x = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) și x=arctan⁡(12)+πx = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.