MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoameSisteme de Ecuații Neliniare
Fie ecuația în numere complexe: z2−(3−2i)z+(5−5i)=0z^2 - (3-2i)z + (5-5i) = 0. a) Să se determine soluțiile z1z_1 și z2z_2 ale ecuației. b) Să se calculeze z14+z24z_1^4 + z_2^4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează discriminantul: Δ=(3−2i)2−4(5−5i)=9−12i+4i2−20+20i=9−12i−4−20+20i=−15+8i\Delta = (3-2i)^2 - 4(5-5i) = 9 - 12i + 4i^2 - 20 + 20i = 9 - 12i - 4 - 20 + 20i = -15 + 8i. Apoi, se găsește w=Δw = \sqrt{\Delta} rezolvând sistemul {x2−y2=−152xy=8\begin{cases} x^2 - y^2 = -15 \\ 2xy = 8 \end{cases} pentru w=x+yiw = x+yi, cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Se obține w=±(1+4i)w = \pm(1+4i).
22 puncte
Soluțiile ecuației sunt z=3−2i±(1+4i)2z = \frac{3-2i \pm (1+4i)}{2}. Astfel, z1=3−2i+1+4i2=4+2i2=2+iz_1 = \frac{3-2i+1+4i}{2} = \frac{4+2i}{2} = 2+i și z2=3−2i−1−4i2=2−6i2=1−3iz_2 = \frac{3-2i-1-4i}{2} = \frac{2-6i}{2} = 1-3i.
34 puncte
Pentru a calcula z14+z24z_1^4 + z_2^4, se folosesc relațiile lui Viète: z1+z2=3−2iz_1 + z_2 = 3-2i și z1z2=5−5iz_1 z_2 = 5-5i. Atunci, z12+z22=(z1+z2)2−2z1z2=(3−2i)2−2(5−5i)=9−12i−4−10+10i=−5−2iz_1^2 + z_2^2 = (z_1+z_2)^2 - 2z_1 z_2 = (3-2i)^2 - 2(5-5i) = 9 - 12i - 4 - 10 + 10i = -5-2i. Apoi, z14+z24=(z12+z22)2−2(z1z2)2=(−5−2i)2−2(5−5i)2=(25+20i+4i2)−2(25−50i+25i2)=(21+20i)−2(−50i)=21+20i+100i=21+120iz_1^4 + z_2^4 = (z_1^2 + z_2^2)^2 - 2(z_1 z_2)^2 = (-5-2i)^2 - 2(5-5i)^2 = (25+20i+4i^2) - 2(25-50i+25i^2) = (21+20i) - 2(-50i) = 21+20i+100i = 21+120i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.