MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea C\mathbb{C} a numerelor complexe, se definește legea de compoziție ∘\circ prin z∘w=z+w+i⋅z⋅wz \circ w = z + w + i \cdot z \cdot w pentru orice z,w∈Cz, w \in \mathbb{C}, unde ii este unitatea imaginară. Să se verifice dacă această lege este asociativă și să se determine elementul neutru. De asemenea, să se rezolve ecuația z∘z=1+iz \circ z = 1 + i.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea asociativității: Calculăm (z∘w)∘u(z \circ w) \circ u și z∘(w∘u)z \circ (w \circ u). (z∘w)∘u=(z+w+izw)+u+i(z+w+izw)u=z+w+izw+u+izu+iwu+i2zwu(z \circ w) \circ u = (z+w+i z w) + u + i (z+w+i z w) u = z+w+i z w + u + i z u + i w u + i^2 z w u. Ținând cont că i2=−1i^2 = -1, obținem z+w+u+i(zw+zu+wu)−zwuz+w+u + i(z w + z u + w u) - z w u. z∘(w∘u)=z+(w+u+iwu)+iz(w+u+iwu)=z+w+u+iwu+izw+izu+i2zwu=z+w+u+i(zw+zu+wu)−zwuz \circ (w \circ u) = z + (w+u+i w u) + i z (w+u+i w u) = z+w+u+i w u + i z w + i z u + i^2 z w u = z+w+u + i(z w + z u + w u) - z w u. Cele două expresii sunt egale, deci legea este asociativă.
23 puncte
Determinarea elementului neutru: Fie ee element neutru, atunci z∘e=zz \circ e = z pentru orice zz. Din z+e+ize=zz+e+i z e = z obținem e(1+iz)=0e(1+i z)=0 pentru orice zz, ceea ce implică e=0e=0. Verificare: z∘0=z+0+iz⋅0=zz \circ 0 = z+0+i z \cdot 0 = z.
34 puncte
Rezolvarea ecuației z∘z=1+iz \circ z = 1 + i: Avem z∘z=z+z+iz2=2z+iz2z \circ z = z + z + i z^2 = 2z + i z^2. Ecuația devine 2z+iz2=1+i2z + i z^2 = 1 + i. Scriem z=x+yiz = x + y i cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R} și substituim: 2(x+yi)+i(x+yi)2=1+i2(x+yi) + i (x+yi)^2 = 1 + i. Calculăm (x+yi)2=x2−y2+2xyi(x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xy i, deci i(x2−y2+2xyi)=i(x2−y2)+i22xy=i(x2−y2)−2xyi (x^2 - y^2 + 2xy i) = i(x^2 - y^2) + i^2 2xy = i(x^2 - y^2) - 2xy. Ecuația: 2x+2yi+i(x2−y2)−2xy=1+i2x + 2y i + i(x^2 - y^2) - 2xy = 1 + i. Separam părțile reale și imaginare: 2x−2xy=12x - 2xy = 1 și 2y+x2−y2=12y + x^2 - y^2 = 1. Rezolvăm sistemul: din prima ecuație, 2x(1−y)=1⇒x=12(1−y)2x(1-y)=1 \Rightarrow x = \frac{1}{2(1-y)} pentru y≠1y \neq 1. Substituim în a doua: (12(1−y))2−y2+2y−1=0\left(\frac{1}{2(1-y)}\right)^2 - y^2 + 2y - 1 = 0. Simplificăm și obținem o ecuație în yy, care are soluții reale. După calcule, găsim soluțiile pentru zz ca numere complexe care satisfac ecuația inițială.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.