MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieNumere Complexe
Fie numărul complex z=1+iz = 1 + i. Să se determine toate numerele complexe ww astfel încât w3=zw^3 = z și să se exprime soluțiile în formă trigonometrică. Apoi, folosind aceste soluții, să se calculeze cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} și sin⁡π12\sin\frac{\pi}{12}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem zz în formă trigonometrică. z=1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)z = 1 + i = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right).
23 puncte
Aplicăm formula lui De Moivre pentru rădăcina cubică. Soluțiile sunt wk=26(cos⁡π4+2kπ3+isin⁡π4+2kπ3)w_k = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\frac{\pi}{4} + 2k\pi}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{4} + 2k\pi}{3} \right), pentru k=0,1,2k=0,1,2.
32 puncte
Exprimăm soluțiile explicit: w0=26(cos⁡π12+isin⁡π12)w_0 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12} \right), w1=26(cos⁡3π4+isin⁡3π4)w_1 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right), w2=26(cos⁡17π12+isin⁡17π12)w_2 = \sqrt[6]{2} \left( \cos\frac{17\pi}{12} + i\sin\frac{17\pi}{12} \right).
43 puncte
Din w0w_0, identificăm că cos⁡π12=6+24\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} și sin⁡π12=6−24\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}, după efectuarea calculelor algebrice corespunzătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.