MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciVectoriSisteme de Ecuații Liniare
În spațiul vectorial R3\mathbb{R}^3, se consideră vectorii v1⃗=(1,0,1)\vec{v_1} = (1,0,1), v2⃗=(0,1,1)\vec{v_2} = (0,1,1), v3⃗=(1,1,0)\vec{v_3} = (1,1,0). Fie AA matricea având pe coloane coordonatele acestor vectori. Arătați că vectorii sunt liniar independenți și determinați matricea de trecere de la baza canonică la baza {v1⃗,v2⃗,v3⃗}\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \}. Apoi, folosind această matrice, calculați coordonatele vectorului w⃗=(2,3,4)\vec{w} = (2,3,4) în baza nouă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Matricea AA este A=(101011110)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. Pentru a arăta independența liniară, se calculează determinantul: det⁡(A)=1⋅(1⋅0−1⋅1)−0⋅(0⋅0−1⋅1)+1⋅(0⋅1−1⋅1)=1⋅(0−1)+1⋅(0−1)=−1−1=−2≠0\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 0 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 1 \cdot (0 - 1) + 1 \cdot (0 - 1) = -1 -1 = -2 \neq 0, deci vectorii sunt liniar independenți.
22 puncte
Matricea de trecere de la baza canonică {e1⃗,e2⃗,e3⃗}\{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \} la baza {v1⃗,v2⃗,v3⃗}\{ \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3} \} este chiar matricea AA, deoarece coloanele sale sunt coordonatele vectorilor noii baze în baza canonică. Astfel, matricea de trecere este P=A=(101011110)P = A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
32 puncte
Fie α,β,γ\alpha, \beta, \gamma coordonatele lui w⃗\vec{w} în noua bază, adică w⃗=αv1⃗+βv2⃗+γv3⃗\vec{w} = \alpha \vec{v_1} + \beta \vec{v_2} + \gamma \vec{v_3}. Aceasta se poate scrie matriceal ca P⋅(αβγ)=(234)P \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, unde PP este matricea de trecere.
43 puncte
Se rezolvă sistemul liniar P⋅X=(234)P \cdot X = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} cu X=(αβγ)X = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix}. Adică (101011110)⋅(αβγ)=(234)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}, de unde {α+γ=2β+γ=3α+β=4\begin{cases} \alpha + \gamma = 2 \\ \beta + \gamma = 3 \\ \alpha + \beta = 4 \end{cases}. Se rezolvă: din prima ecuație, γ=2−α\gamma = 2 - \alpha; din a doua, β=3−γ=3−(2−α)=1+α\beta = 3 - \gamma = 3 - (2 - \alpha) = 1 + \alpha; din a treia, α+(1+α)=4⇒2α+1=4⇒2α=3⇒α=32\alpha + (1 + \alpha) = 4 \Rightarrow 2\alpha + 1 = 4 \Rightarrow 2\alpha = 3 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{2}. Atunci β=1+32=52\beta = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} și γ=2−32=12\gamma = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}. Deci coordonatele sunt α=32\alpha = \frac{3}{2}, β=52\beta = \frac{5}{2}, γ=12\gamma = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.