MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeVectori
Pe mulțimea R2={(x,y)∣x,y∈R}\mathbb{R}^2 = \{ (x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \} se definește operația ⊕\oplus prin (a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) \oplus (c,d) = (a+c, b+d+ac). Să se verifice dacă această operație este asociativă, comutativă, și să se determine elementul neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm comutativitatea: (a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d+ac)(a,b) \oplus (c,d) = (a+c, b+d+ac) și (c,d)⊕(a,b)=(c+a,d+b+ca)=(a+c,b+d+ac)(c,d) \oplus (a,b) = (c+a, d+b+ca) = (a+c, b+d+ac) deoarece ac=caac=ca, deci operația este comutativă.
24 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru (a,b),(c,d),(e,f)∈R2(a,b), (c,d), (e,f) \in \mathbb{R}^2, calculăm ((a,b)⊕(c,d))⊕(e,f)=(a+c+e,b+d+ac+f+ae+ce)((a,b) \oplus (c,d)) \oplus (e,f) = (a+c+e, b+d+ac+f+ae+ce) și (a,b)⊕((c,d)⊕(e,f))=(a+c+e,b+d+f+ce+ac+ae)(a,b) \oplus ((c,d) \oplus (e,f)) = (a+c+e, b+d+f+ce+ac+ae); sunt egale, deci operația este asociativă.
33 puncte
Căutăm elementul neutru (e1,e2)(e_1, e_2): din (a,b)⊕(e1,e2)=(a,b)(a,b) \oplus (e_1, e_2) = (a,b), obținem a+e1=a⇒e1=0a+e_1 = a \Rightarrow e_1=0 și b+e2+ae1=b⇒e2=0b+e_2+ae_1 = b \Rightarrow e_2=0; verificăm (a,b)⊕(0,0)=(a,b)(a,b) \oplus (0,0) = (a,b), deci (0,0)(0,0) este elementul neutru.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.