MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieEcuații exponentiale
Să se rezolve în [0,2π)[0, 2\pi) ecuația 2sin⁡2x+2cos⁡2x=32^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosim identitatea fundamentală sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1. Notăm t=2sin⁡2xt = 2^{\sin^2 x}. Atunci 2cos⁡2x=21−sin⁡2x=2t2^{\cos^2 x} = 2^{1 - \sin^2 x} = \frac{2}{t}.
23 puncte
Ecuația devine t+2t=3t + \frac{2}{t} = 3. Multiplicăm cu tt (observăm că t>0t > 0 pentru orice xx real) și obținem t2−3t+2=0t^2 - 3t + 2 = 0.
34 puncte
Rezolvăm ecuația t2−3t+2=0t^2 - 3t + 2 = 0, care are soluțiile t=1t = 1 și t=2t = 2. Pentru t=1t = 1, avem 2sin⁡2x=12^{\sin^2 x} = 1, deci sin⁡2x=0\sin^2 x = 0, adică sin⁡x=0\sin x = 0. În [0,2π)[0, 2\pi), sin⁡x=0\sin x = 0 pentru x=0x = 0 și x=πx = \pi. Pentru t=2t = 2, avem 2sin⁡2x=22^{\sin^2 x} = 2, deci sin⁡2x=1\sin^2 x = 1, adică sin⁡x=±1\sin x = \pm 1. În [0,2π)[0, 2\pi), sin⁡x=1\sin x = 1 pentru x=π2x = \frac{\pi}{2}, și sin⁡x=−1\sin x = -1 pentru x=3π2x = \frac{3\pi}{2}. Verificăm fiecare valoare în ecuația originală: pentru x=0x=0, 20+21=1+2=32^{0} + 2^{1} = 1+2=3; pentru x=πx=\pi, 20+21=32^{0} + 2^{1}=3; pentru x=π2x=\frac{\pi}{2}, 21+20=2+1=32^{1} + 2^{0}=2+1=3; pentru x=3π2x=\frac{3\pi}{2}, 21+20=32^{1} + 2^{0}=3. Toate satisfac. Soluțiile sunt x∈{0,π2,π,3π2}x \in \left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.