MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanți
Fie matricea A=(1230−14210)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}. Calculați determinantul matricei AA și determinați matricea XX care verifică ecuația A⋅X=BA \cdot X = B, unde B=(5−23)B = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați det⁡(A)\det(A) folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie. det⁡(A)=1⋅(−1)⋅0+2⋅4⋅2+3⋅0⋅1−3⋅(−1)⋅2−2⋅0⋅0−1⋅4⋅1=0+16+0−(−6)−0−4=18\det(A) = 1 \cdot (-1) \cdot 0 + 2 \cdot 4 \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 1 - 3 \cdot (-1) \cdot 2 - 2 \cdot 0 \cdot 0 - 1 \cdot 4 \cdot 1 = 0 + 16 + 0 - (-6) - 0 - 4 = 18.
21 punct
Deoarece det⁡(A)=18≠0\det(A) = 18 \neq 0, matricea AA este inversabilă, deci ecuația A⋅X=BA \cdot X = B are soluție unică.
34 puncte
Calculați matricea inversă A−1A^{-1} folosind metoda adjunctei. Matricea adjunctă este adj(A)=(−43118−6−42−3−1)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -4 & 3 & 11 \\ 8 & -6 & -4 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}, deci A−1=118adj(A)=118(−43118−6−42−3−1)A^{-1} = \frac{1}{18} \text{adj}(A) = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} -4 & 3 & 11 \\ 8 & -6 & -4 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix}.
42 puncte
Calculați X=A−1⋅B=118(−43118−6−42−3−1)⋅(5−23)=118(−20−6+3340+12−1210+6−3)=118(74013)=(7182091318)X = A^{-1} \cdot B = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} -4 & 3 & 11 \\ 8 & -6 & -4 \\ 2 & -3 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} -20 -6 + 33 \\ 40 + 12 -12 \\ 10 + 6 -3 \end{pmatrix} = \frac{1}{18} \begin{pmatrix} 7 \\ 40 \\ 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{18} \\ \frac{20}{9} \\ \frac{13}{18} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.