MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieMatriciGrupuri
Se consideră mulțimea M={(ab0a)∣a,b∈R,a≠0}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \right\}. Înzestrată cu înmulțirea matricelor, această mulțime formează o structură algebrică. a) Arătați că înmulțirea matricelor este o lege de compoziție internă pe MM. b) Verificați asociativitatea. c) Găsiți elementul neutru. d) Demonstrați că fiecare matrice din MM are invers și calculați inversul matricei (2102)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se arată că înmulțirea este internă: pentru (ab0a),(cd0c)∈M\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c \end{pmatrix} \in M, produsul este (acad+bc0ac)\begin{pmatrix} ac & ad + bc \\ 0 & ac \end{pmatrix}, cu ac≠0ac \neq 0 deoarece a,c≠0a,c \neq 0, deci aparține lui MM.
23 puncte
Asociativitatea rezultă din asociativitatea generală a înmulțirii matricelor.
32 puncte
Elementul neutru este matricea (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, care este în MM pentru a=1,b=0a=1, b=0.
43 puncte
Inversa unei matrice (ab0a)\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} este (1a−ba201a)\begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a^2} \\ 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}, verificabil prin înmulțire. Pentru (2102)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, inversa este (12−14012)\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.