MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A=(1a01)A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, unde aa este un număr real nenul. a) Calculați AnA^n pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. b) Determinați aa astfel încât det⁡(A+AT)=0\det(A + A^T) = 0. c) Pentru valoarea lui aa găsită, rezolvați sistemul de ecuații liniare reprezentat de AX=BA X = B, unde X=(xy)X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} și B=(23)B = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că A=I+aEA = I + a E cu E=(0100)E = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. Prin inducție, An=I+naE=(1na01)A^n = I + n a E = \begin{pmatrix} 1 & n a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculăm A+AT=(2aa2)A + A^T = \begin{pmatrix} 2 & a \\ a & 2 \end{pmatrix}, cu determinantul det⁡(A+AT)=4−a2\det(A + A^T) = 4 - a^2. Punem condiția 4−a2=04 - a^2 = 0, deci a=±2a = \pm 2.
34 puncte
Pentru a=2a = 2, sistemul este {x+2y=2y=3\begin{cases} x + 2y = 2 \\ y = 3 \end{cases}, cu soluția x=−4,y=3x = -4, y = 3. Pentru a=−2a = -2, sistemul este {x−2y=2y=3\begin{cases} x - 2y = 2 \\ y = 3 \end{cases}, cu soluția x=8,y=3x = 8, y = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.