MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeGeometrie Analitică
Calculați integrala definită I=∫024−x2 dxI = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} \, dx și determinați aria regiunii din plan mărginită de graficul funcției f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^2}, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Se observă că funcția f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4 - x^2} este pozitivă pe intervalul [0,2][0,2] și reprezintă o porțiune dintr-un cerc.
23 puncte
Se aplică substituția x=2sin⁡tx = 2\sin t, cu t∈[0,π2]t \in [0, \frac{\pi}{2}], deci dx=2cos⁡t dtdx = 2\cos t \, dt, iar 4−x2=4−4sin⁡2t=2cos⁡t\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2 t} = 2\cos t.
32 puncte
Integrala devine I=∫0π22cos⁡t⋅2cos⁡t dt=4∫0π2cos⁡2t dtI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos t \cdot 2\cos t \, dt = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \, dt.
43 puncte
Folosind formula cos⁡2t=1+cos⁡2t2\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}, avem I=4∫0π21+cos⁡2t2 dt=2∫0π2(1+cos⁡2t) dt=2[t+sin⁡2t2]0π2=2(π2+0−(0+0))=πI = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2t) \, dt = 2\left[ t + \frac{\sin 2t}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2\left( \frac{\pi}{2} + 0 - (0 + 0) \right) = \pi.
51 punct
Interpretare geometrică: Integrala reprezintă aria unui sfert de cerc cu raza 2, adică 14π⋅22=π\frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi, ceea ce confirmă rezultatul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.