MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveProprietăți ale integralelor
Demonstrați că ∫01xexdx=1\int_{0}^{1} x e^{x} dx = 1. Apoi, folosind acest rezultat, calculați ∫01(x2+2x)exdx\int_{0}^{1} (x^2 + 2x) e^{x} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
14 puncte
Pentru ∫01xexdx\int_{0}^{1} x e^{x} dx, aplicați integrarea prin părți: fie u=xu = x, dv=exdxdv = e^{x} dx, deci du=dxdu = dx, v=exv = e^{x}. Atunci ∫01xexdx=[xex]01−∫01exdx=e−(e−1)=1\int_{0}^{1} x e^{x} dx = [x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} dx = e - (e - 1) = 1.
22 puncte
Descompuneți integrala: ∫01(x2+2x)exdx=∫01x2exdx+2∫01xexdx\int_{0}^{1} (x^2 + 2x) e^{x} dx = \int_{0}^{1} x^2 e^{x} dx + 2 \int_{0}^{1} x e^{x} dx. Din step 1, 2∫01xexdx=2⋅1=22 \int_{0}^{1} x e^{x} dx = 2 \cdot 1 = 2.
33 puncte
Calculați ∫01x2exdx\int_{0}^{1} x^2 e^{x} dx cu integrarea prin părți: fie u=x2u = x^2, dv=exdxdv = e^{x} dx, deci du=2xdxdu = 2x dx, v=exv = e^{x}. Atunci ∫01x2exdx=[x2ex]01−∫012xexdx=e−2∫01xexdx=e−2⋅1=e−2\int_{0}^{1} x^2 e^{x} dx = [x^2 e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2x e^{x} dx = e - 2 \int_{0}^{1} x e^{x} dx = e - 2 \cdot 1 = e - 2.
41 punct
Combinați rezultatele: ∫01(x2+2x)exdx=(e−2)+2=e\int_{0}^{1} (x^2 + 2x) e^{x} dx = (e - 2) + 2 = e.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.