MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieGeometrie Analitică
În planul cartezian, se consideră punctele A(1,0)A(1,0), B(cos⁡θ,sin⁡θ)B(\cos \theta, \sin \theta) și C(cos⁡2θ,sin⁡2θ)C(\cos 2\theta, \sin 2\theta), unde θ∈(0,π)\theta \in (0, \pi). a) Demonstrați că triunghiul ABCABC este isoscel. b) Determinați aria triunghiului ABCABC în funcție de θ\theta.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm distanțele ABAB și BCBC. AB=(cos⁡θ−1)2+(sin⁡θ)2=cos⁡2θ−2cos⁡θ+1+sin⁡2θ=2−2cos⁡θ=4sin⁡2θ2=2sin⁡θ2AB = \sqrt{(\cos \theta - 1)^2 + (\sin \theta)^2} = \sqrt{\cos^2 \theta - 2\cos \theta + 1 + \sin^2 \theta} = \sqrt{2 - 2\cos \theta} = \sqrt{4\sin^2 \frac{\theta}{2}} = 2\sin \frac{\theta}{2} (deoarece sin⁡θ2>0\sin \frac{\theta}{2} > 0 pentru θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi)). BC=(cos⁡2θ−cos⁡θ)2+(sin⁡2θ−sin⁡θ)2BC = \sqrt{(\cos 2\theta - \cos \theta)^2 + (\sin 2\theta - \sin \theta)^2}. Folosind formule trigonometrice: cos⁡2θ−cos⁡θ=−2sin⁡3θ2sin⁡θ2\cos 2\theta - \cos \theta = -2\sin \frac{3\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2} și sin⁡2θ−sin⁡θ=2cos⁡3θ2sin⁡θ2\sin 2\theta - \sin \theta = 2\cos \frac{3\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}, deci BC2=4sin⁡2θ2(sin⁡23θ2+cos⁡23θ2)=4sin⁡2θ2BC^2 = 4\sin^2 \frac{\theta}{2}(\sin^2 \frac{3\theta}{2} + \cos^2 \frac{3\theta}{2}) = 4\sin^2 \frac{\theta}{2}, așadar BC=2sin⁡θ2BC = 2\sin \frac{\theta}{2}.
23 puncte
Deoarece AB=BCAB = BC, triunghiul ABCABC este isoscel cu vârfurile în BB.
32 puncte
Calculăm unghiul ∠B\angle B folosind produsul scalar. Vectorii BA⃗=(1−cos⁡θ,−sin⁡θ)\vec{BA} = (1 - \cos \theta, -\sin \theta) și BC⃗=(cos⁡2θ−cos⁡θ,sin⁡2θ−sin⁡θ)\vec{BC} = (\cos 2\theta - \cos \theta, \sin 2\theta - \sin \theta). Produsul scalar: BA⃗⋅BC⃗=(1−cos⁡θ)(cos⁡2θ−cos⁡θ)+(−sin⁡θ)(sin⁡2θ−sin⁡θ)=2cos⁡θ(cos⁡θ−1)=−4cos⁡θsin⁡2θ2\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1 - \cos \theta)(\cos 2\theta - \cos \theta) + (-\sin \theta)(\sin 2\theta - \sin \theta) = 2\cos \theta (\cos \theta - 1) = -4\cos \theta \sin^2 \frac{\theta}{2}. Modulele: ∣BA⃗∣=∣BC⃗∣=2sin⁡θ2|\vec{BA}| = |\vec{BC}| = 2\sin \frac{\theta}{2}. Atunci cos⁡(∠B)=BA⃗⋅BC⃗∣BA⃗∣∣BC⃗∣=−4cos⁡θsin⁡2θ24sin⁡2θ2=−cos⁡θ\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{-4\cos \theta \sin^2 \frac{\theta}{2}}{4\sin^2 \frac{\theta}{2}} = -\cos \theta, de unde ∠B=π−θ\angle B = \pi - \theta.
42 puncte
Aria triunghiului este 12⋅AB⋅BC⋅sin⁡(∠B)=12⋅(2sin⁡θ2)2⋅sin⁡θ=2sin⁡2θ2sin⁡θ\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot (2\sin \frac{\theta}{2})^2 \cdot \sin \theta = 2\sin^2 \frac{\theta}{2} \sin \theta.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.