MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Considerăm numerele complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 care formează o progresie geometrică. Dacă z1=1+iz_1 = 1 + i, z2=a+biz_2 = a + bi, și z3=−2iz_3 = -2i, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}, determinați valorile reale ale lui aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem condiția pentru progresie geometrică: z22=z1⋅z3z_2^2 = z_1 \cdot z_3, adică (a+bi)2=(1+i)(−2i)(a+bi)^2 = (1+i)(-2i).
23 puncte
Calculăm (1+i)(−2i)=−2i−2i2=−2i+2=2−2i(1+i)(-2i) = -2i - 2i^2 = -2i + 2 = 2 - 2i.
33 puncte
Expandăm (a+bi)2=a2−b2+2abi(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi și echivalăm cu 2−2i2 - 2i, obținând sistemul: a2−b2=2a^2 - b^2 = 2 și 2ab=−22ab = -2. Rezolvăm sistemul: din 2ab=−22ab = -2, avem ab=−1ab = -1. Substituind sau rezolvând, găsim soluțiile a=1,b=−1a=1, b=-1 sau a=−1,b=1a=-1, b=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.