MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
Un triunghi are laturile de lungimi xx, x+1x+1, și x+2x+2, iar unghiul opus laturii de lungime x+2x+2 este 120∘120^\circ. Determinați valoarea lui xx și aria triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicăm teorema cosinusului: (x+2)2=x2+(x+1)2−2x(x+1)cos⁡120∘(x+2)^2 = x^2 + (x+1)^2 - 2x(x+1)\cos 120^\circ. Deoarece cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}, ecuația devine (x+2)2=x2+(x+1)2+x(x+1)(x+2)^2 = x^2 + (x+1)^2 + x(x+1).
23 puncte
Simplificăm și rezolvăm ecuația: x2+4x+4=x2+x2+2x+1+x2+xx^2 + 4x + 4 = x^2 + x^2 + 2x + 1 + x^2 + x, deci x2+4x+4=2x2+3x+1x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 3x + 1. Aducem la forma x2−x−3=0x^2 - x - 3 = 0, cu soluțiile x=1±132x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}. Cum x>0x > 0, avem x=1+132x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}.
33 puncte
Calculăm aria cu formula A=12absin⁡CA = \frac{1}{2}ab\sin C, unde a=xa=x, b=x+1b=x+1, C=120∘C=120^\circ. Deci A=12⋅x⋅(x+1)⋅sin⁡120∘=12⋅x⋅(x+1)⋅32=34x(x+1)A = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x+1) \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x+1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} x(x+1). Înlocuim x=1+132x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} pentru a obține aria.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.