MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Se consideră progresia geometrică (zn)n≥1(z_n)_{n \geq 1} de numere complexe, unde z1=1−2iz_1 = 1 - 2i și z4=−27+26iz_4 = -27 + 26i. a) Determinați toate valorile posibile pentru rația qq a progresiei. b) Calculați suma Sn=z1+z2+⋯+znS_n = z_1 + z_2 + \dots + z_n și determinați toate valorile naturale ale lui nn pentru care ∣Sn∣=50|S_n| = 50.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem relația z4=z1⋅q3z_4 = z_1 \cdot q^3 și calculăm q3=z4z1=−27+26i1−2iq^3 = \frac{z_4}{z_1} = \frac{-27+26i}{1-2i}; efectuăm împărțirea numerelor complexe pentru a obține q3q^3 sub formă a+bia+bi.
23 puncte
Găsim toate rădăcinile cubice ale lui q3q^3 rezolvând ecuația w3=q3w^3 = q^3 în mulțimea numerelor complexe, obținând trei valori posibile pentru qq.
32 puncte
Pentru fiecare valoare a lui q≠1q \neq 1, aplicăm formula sumei unei progresii geometrice finite: Sn=z11−qn1−qS_n = z_1 \frac{1-q^n}{1-q}; dacă q=1q=1, suma este Sn=nz1S_n = n z_1.
43 puncte
Impunem condiția ∣Sn∣=50|S_n| = 50 pentru fiecare qq și rezolvăm ecuațiile corespunzătoare, determinând valorile naturale ale lui nn care satisfac; verificăm consistența soluțiilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.