MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația sin⁡x+3cos⁡x=2sin⁡2x\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin 2x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți sin⁡x+3cos⁡x\sin x + \sqrt{3} \cos x sub forma Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi). Se obține R=2R = 2 și φ=π3\varphi = \frac{\pi}{3}, deci ecuația devine 2sin⁡(x+π3)=2sin⁡2x2 \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin 2x.
24 puncte
Simplificați ecuația la sin⁡(x+π3)=sin⁡2x\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin 2x. Folosind proprietățile funcției sinus, se obțin două cazuri: x+π3=2x+2kπx + \frac{\pi}{3} = 2x + 2k\pi sau x+π3=π−2x+2kπx + \frac{\pi}{3} = \pi - 2x + 2k\pi, cu k∈Zk \in \mathbb{Z}.
33 puncte
Rezolvați ecuațiile: primul caz dă x=π3+2kπx = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, iar al doilea caz dă x=2π9+2kπ3x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}. Verificați că aceste soluții satisfac ecuația originală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.