MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciNumere ComplexeDeterminanți
Fie matricea M=(z12z)M = \begin{pmatrix} z & 1 \\ 2 & z \end{pmatrix}, unde zz este un număr complex. a) Determinați zz astfel încât det⁡(M)=0\det(M) = 0. b) Pentru z=1+iz = 1+i, calculați M2M^2 și M−1M^{-1}. c) Rezolvați ecuația matriceală MX=(10)M X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} pentru z=1+iz = 1+i, unde X=(xy)X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
det⁡(M)=z2−2\det(M) = z^2 - 2. Condiția det⁡(M)=0\det(M) = 0 dă z2=2z^2 = 2, deci z=2z = \sqrt{2} sau z=−2z = -\sqrt{2} (considerând rădăcinile pătrate complexe).
24 puncte
Pentru z=1+iz = 1+i, avem M=(1+i121+i)M = \begin{pmatrix} 1+i & 1 \\ 2 & 1+i \end{pmatrix}. M2=((1+i)2+2(1+i)+(1+i)2(1+i)+2(1+i)2+(1+i)2)=(2+2i2+2i4+4i2+2i)M^2 = \begin{pmatrix} (1+i)^2 + 2 & (1+i) + (1+i) \\ 2(1+i) + 2(1+i) & 2 + (1+i)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2i & 2+2i \\ 4+4i & 2+2i \end{pmatrix}. det⁡(M)=(1+i)2−2=2i−2=2(i−1)\det(M) = (1+i)^2 - 2 = 2i - 2 = 2(i-1). M−1=12(i−1)(1+i−1−21+i)M^{-1} = \frac{1}{2(i-1)} \begin{pmatrix} 1+i & -1 \\ -2 & 1+i \end{pmatrix}.
33 puncte
Soluția ecuației este X=M−1(10)=12(i−1)(1+i−2)X = M^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2(i-1)} \begin{pmatrix} 1+i \\ -2 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.