MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea C=(1201)C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Calculează C2C^2, C3C^3 și deduce o formulă pentru CnC^n, unde n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Demonstrează această formulă prin inducție matematică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculează C2=(1401)C^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și C3=(1601)C^3 = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, observând că Cn=(12n01)C^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
22 puncte
Propune formula: Cn=(12n01)C^n = \begin{pmatrix} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
31 punct
Verifică pentru cazul de bază n=1n=1: C1=(1201)C^1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, ceea ce este adevărat.
44 puncte
Presupunând că formula este adevărată pentru n=kn=k, adică Ck=(12k01)C^k = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, demonstrează pentru n=k+1n=k+1: Ck+1=Ck⋅C=(12k01)(1201)=(12(k+1)01)C^{k+1} = C^k \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 2k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2(k+1) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci formula este adevărată pentru toți n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.