MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul de ecuații: {ln⁡(x)+ln⁡(y)=ln⁡(12)x2+y2=25\begin{cases} \ln(x) + \ln(y) = \ln(12) \\ x^{2} + y^{2} = 25 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Folosiți proprietatea logaritmilor ln⁡(a)+ln⁡(b)=ln⁡(ab)\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab) pentru prima ecuație: ln⁡(xy)=ln⁡(12)\ln(xy) = \ln(12); deoarece funcția logaritmică este injectivă, rezultă xy=12xy = 12, cu condiția x>0x > 0 și y>0y > 0.
23 puncte
Exprimați yy în funcție de xx din xy=12xy = 12: y=12xy = \frac{12}{x}.
33 puncte
Înlocuiți în a doua ecuație: x2+(12x)2=25x^{2} + \left(\frac{12}{x}\right)^{2} = 25, adică x2+144x2=25x^{2} + \frac{144}{x^{2}} = 25; înmulțiți cu x2x^{2}: x4−25x2+144=0x^{4} - 25x^{2} + 144 = 0.
42 puncte
Rezolvați ecuația biquadratică: notează t=x2t = x^{2}, deci t2−25t+144=0t^{2} - 25t + 144 = 0, cu soluțiile t=9t = 9 și t=16t = 16; atunci x2=9x^{2} = 9 sau x2=16x^{2} = 16, deci x=3x = 3, x=−3x = -3, x=4x = 4, x=−4x = -4; din condiția x>0x > 0, rămân x=3x = 3 și x=4x = 4; găsiți yy corespunzător: pentru x=3x=3, y=4y=4; pentru x=4x=4, y=3y=3; verificați că ambele perechi satisfac ecuațiile inițiale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.