MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrie
Fie numărul complex z=3+iz = \sqrt{3} + i. Determinați toate numerele naturale nenule nn pentru care znz^n este un număr real.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți zz în forma trigonometrică. Modulul este ∣z∣=(3)2+12=2|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2. Argumentul este θ=arctan⁡(13)=π6\theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}, deci z=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right).\n
23 puncte
Aplicați formula lui Moivre: zn=2n(cos⁡nπ6+isin⁡nπ6)z^n = 2^n \left(\cos\frac{n\pi}{6} + i\sin\frac{n\pi}{6}\right).\n
32 puncte
znz^n este real dacă și numai dacă partea sa imaginară este zero, adică sin⁡nπ6=0\sin\frac{n\pi}{6} = 0.\n
42 puncte
Rezolvați sin⁡nπ6=0\sin\frac{n\pi}{6} = 0 pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Ecuația este satisfăcută când nπ6=kπ\frac{n\pi}{6} = k\pi, cu k∈Zk \in \mathbb{Z}, deci n=6kn = 6k. Pentru n>0n > 0, avem k∈N∗k \in \mathbb{N}^*, așadar nn sunt toți multiplii pozitivi ai lui 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.