MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriNumere Complexe
Fie G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} mulțimea numerelor complexe de modul 1. Se definește operația ∗* pe GG prin z1∗z2=z1⋅z2z_1 * z_2 = z_1 \cdot z_2 (produsul obișnuit al numerelor complexe). a) Arătați că (G,∗)(G, *) este un grup. b) Verificați dacă grupul este comutativ. c) Considerați aplicația f:G→Rf: G \to \mathbb{R} definită prin f(z)=Arg(z)f(z) = \text{Arg}(z), unde Arg(z)\text{Arg}(z) este argumentul principal cu valori în (−π,π](-\pi, \pi]. Studiați dacă ff este un morfism de grupuri.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea proprietăților de grup: Închiderea: pentru z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1∗z2∈Gz_1 * z_2 \in G. Asociativitatea: rezultă din asociativitatea înmulțirii numerelor complexe. Elementul neutru: 1∈G1 \in G și z∗1=z⋅1=zz * 1 = z \cdot 1 = z pentru orice z∈Gz \in G. Elemente simetrice: pentru z∈Gz \in G, ∣z∣=1|z|=1, deci 1z=z‾∈G\frac{1}{z} = \overline{z} \in G și z∗1z=1z * \frac{1}{z} = 1, deci simetricul există.
22 puncte
Comutativitatea: z1∗z2=z1⋅z2=z2⋅z1=z2∗z1z_1 * z_2 = z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1 = z_2 * z_1, deci grupul este comutativ.
35 puncte
Studierea morfismului: Un morfism de grupuri trebuie să satisfacă f(z1∗z2)=f(z1)+f(z2)f(z_1 * z_2) = f(z_1) + f(z_2). Calculăm f(z1∗z2)=f(z1⋅z2)=Arg(z1⋅z2)f(z_1 * z_2) = f(z_1 \cdot z_2) = \text{Arg}(z_1 \cdot z_2). Din proprietățile argumentului, Arg(z1⋅z2)=Arg(z1)+Arg(z2)+2kπ\text{Arg}(z_1 \cdot z_2) = \text{Arg}(z_1) + \text{Arg}(z_2) + 2k\pi pentru un k∈Zk \in \mathbb{Z} care asigură că rezultatul este în (−π,π](-\pi, \pi]. În general, f(z1)+f(z2)f(z_1) + f(z_2) poate fi diferit de Arg(z1⋅z2)\text{Arg}(z_1 \cdot z_2) din cauza ajustării la intervalul principal. De exemplu, luăm z1=ei2π3z_1 = e^{i\frac{2\pi}{3}} și z2=ei2π3z_2 = e^{i\frac{2\pi}{3}}, atunci f(z1)=2π3f(z_1) = \frac{2\pi}{3}, f(z2)=2π3f(z_2) = \frac{2\pi}{3}, suma este 4π3\frac{4\pi}{3}, dar z1∗z2=ei4π3z_1 * z_2 = e^{i\frac{4\pi}{3}} cu Arg(ei4π3)=−2π3\text{Arg}(e^{i\frac{4\pi}{3}}) = -\frac{2\pi}{3}, deci f(z1∗z2)≠f(z1)+f(z2)f(z_1 * z_2) \neq f(z_1) + f(z_2). Așadar, ff nu este un morfism de grupuri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.