MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriNumere Complexe
Pe mulțimea numerelor complexe C\mathbb{C} se definește legea de compoziție ∘\circ prin z∘w=z+w+i⋅z⋅wz \circ w = z + w + i \cdot z \cdot w pentru orice z,w∈Cz, w \in \mathbb{C}, unde ii este unitatea imaginară. a) Demonstrați că legea ∘\circ este asociativă. b) Găsiți elementul neutru e∈Ce \in \mathbb{C}. c) Pentru un număr complex z=a+biz = a + bi, determinați condiția ca acesta să aibă invers față de legea ∘\circ. d) Studiați comutativitatea legii.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru asociativitate, calculăm (z∘w)∘u=(z+w+izw)∘u=z+w+izw+u+i(z+w+izw)u=z+w+u+i(zw+zu+wu)−zwu(z \circ w) \circ u = (z + w + i z w) \circ u = z + w + i z w + u + i(z + w + i z w)u = z + w + u + i(zw + zu + wu) - z w u și z∘(w∘u)=z∘(w+u+iwu)=z+w+u+iwu+iz(w+u+iwu)=z+w+u+i(zw+zu+wu)−zwuz \circ (w \circ u) = z \circ (w + u + i w u) = z + w + u + i w u + i z (w + u + i w u) = z + w + u + i(zw + zu + wu) - z w u, deci sunt egale.
22 puncte
Elementul neutru ee: din z∘e=z⇒z+e+ize=z⇒e(1+iz)=0z \circ e = z \Rightarrow z + e + i z e = z \Rightarrow e(1 + i z) = 0 pentru orice zz, ceea ce implică e=0e = 0.
33 puncte
Inversul lui zz, notat z′z', satisface z∘z′=0⇒z+z′+izz′=0⇒z′(1+iz)=−z⇒z′=−z1+izz \circ z' = 0 \Rightarrow z + z' + i z z' = 0 \Rightarrow z'(1 + i z) = -z \Rightarrow z' = \frac{-z}{1 + i z}, cu condiția 1+iz≠0⇒z≠i1 + i z \neq 0 \Rightarrow z \neq i.
42 puncte
Comutativitatea: z∘w=z+w+izwz \circ w = z + w + i z w și w∘z=w+z+iwz=z+w+izww \circ z = w + z + i w z = z + w + i z w, deoarece înmulțirea complexă este comutativă (zw=wzz w = w z), deci legea este comutativă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.