MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeGrupuri
Fie operația ∗* definită pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} prin a∗b=a+b1−aba * b = \frac{a + b}{1 - ab} pentru orice a,b∈Ma, b \in M. Studiați dacă operația ∗* este asociativă, comutativă, determinați elementul neutru (dacă există) și elementele simetrizabile.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: a∗b=a+b1−aba * b = \frac{a + b}{1 - ab} și b∗a=b+a1−ba=a+b1−abb * a = \frac{b + a}{1 - ba} = \frac{a + b}{1 - ab} deoarece ab=baab = ba, deci operația este comutativă.
23 puncte
Verificăm asociativitatea. Calculăm (a∗b)∗c(a * b) * c și a∗(b∗c)a * (b * c): (a∗b)∗c=a+b1−ab+c1−a+b1−ab⋅c=a+b+c(1−ab)1−ab−c(a+b)(a * b) * c = \frac{\frac{a + b}{1 - ab} + c}{1 - \frac{a + b}{1 - ab} \cdot c} = \frac{a + b + c(1 - ab)}{1 - ab - c(a + b)} și a∗(b∗c)=a+b+c1−bc1−a⋅b+c1−bc=a(1−bc)+b+c1−bc−a(b+c)a * (b * c) = \frac{a + \frac{b + c}{1 - bc}}{1 - a \cdot \frac{b + c}{1 - bc}} = \frac{a(1 - bc) + b + c}{1 - bc - a(b + c)}. După simplificări, se obține aceeași expresie, deci operația este asociativă.
33 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât a∗e=aa * e = a pentru orice a∈Ma \in M. a∗e=a+e1−ae=a  ⟹  a+e=a(1−ae)  ⟹  a+e=a−a2e  ⟹  e+a2e=0  ⟹  e(1+a2)=0a * e = \frac{a + e}{1 - ae} = a \implies a + e = a(1 - ae) \implies a + e = a - a^2 e \implies e + a^2 e = 0 \implies e(1 + a^2) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice aa, trebuie e=0e=0. Verificăm: a∗0=a+01−a⋅0=aa * 0 = \frac{a + 0}{1 - a \cdot 0} = a, deci elementul neutru este e=0e=0.
42 puncte
Un element aa este simetrizabil dacă există a′a' astfel încât a∗a′=0a * a' = 0. a∗a′=a+a′1−aa′=0  ⟹  a+a′=0  ⟹  a′=−aa * a' = \frac{a + a'}{1 - a a'} = 0 \implies a + a' = 0 \implies a' = -a. Verificăm dacă −a∈M-a \in M: din a∈R∖{1}a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, −a-a este în R\mathbb{R}, iar condiția 1−a(−a)≠01 - a(-a) \neq 0 devine 1+a2≠01 + a^2 \neq 0, ceea ce este întotdeauna adevărat. Deci simetricul lui aa este −a-a.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.