MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M={0,1,2,3}M = \{0, 1, 2, 3\} se definește legea de compoziție ∘\circ astfel încât este comutativă și are elementul neutru 1. Completați tabelul de mai jos cu elemente din MM care satisfac aceste condiții, apoi studiați: a) Este legea asociativă? b) Care sunt elementele simetrizabile? Tabelul de completat: ∘012301123\begin{array}{c|cccc} \circ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & & & & \\ 1 & & 1 & & \\ 2 & & & & \\ 3 & & & & \end{array}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Completarea tabelului: Deoarece 1 este element neutru, x∘1=xx \circ 1 = x și 1∘x=x1 \circ x = x pentru orice x∈Mx \in M. O completare posibilă este x∘y=(x⋅y)mod  4x \circ y = (x \cdot y) \mod 4, unde ⋅\cdot este înmulțirea obișnuită. Rezultă: 0∘0=00\circ0=0, 0∘1=00\circ1=0, 0∘2=00\circ2=0, 0∘3=00\circ3=0; 1∘0=01\circ0=0, 1∘1=11\circ1=1, 1∘2=21\circ2=2, 1∘3=31\circ3=3; 2∘0=02\circ0=0, 2∘1=22\circ1=2, 2∘2=02\circ2=0, 2∘3=22\circ3=2; 3∘0=03\circ0=0, 3∘1=33\circ1=3, 3∘2=23\circ2=2, 3∘3=13\circ3=1. Tabelul este simetric, deci legea comutativă.
23 puncte
Verificarea asociativității: Deoarece x∘y=(x⋅y)mod  4x \circ y = (x \cdot y) \mod 4, iar înmulțirea este asociativă, și operația modulo păstrează asociativitatea, legea este asociativă.
33 puncte
Elementele simetrizabile: Un element xx are simetric x′x' dacă x∘x′=1x \circ x' = 1. Pentru x=0x=0: 0∘x′=0≠10\circ x'=0 \neq 1, deci 0 nu are simetric. Pentru x=1x=1: 1∘1=11\circ1=1, simetricul este 1. Pentru x=2x=2: 2∘0=02\circ0=0, 2∘1=22\circ1=2, 2∘2=02\circ2=0, 2∘3=22\circ3=2, niciunul dă 1, deci 2 nu are simetric. Pentru x=3x=3: 3∘3=13\circ3=1, simetricul este 3. Elementele simetrizabile sunt 1 și 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.